上帝掷骰子吗-第17部分

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都没有记笔记，但我还是没有记错，刚才我们的a＝2×4＋1×1＝9。看来是我算错了，我　
们再算一遍，这次可要打起精神了：a代表A地上车A地下车。所以可能的情况是：我搭II　
号线在A地上车A地下车（矩阵II第一行第一列），1块。然后转I号线同样在A地上车A地下　
车（矩阵I第一行第一列），也是1块。1×1＝1。还有一种可能是，我搭II号线在A地上车　
B地下车（矩阵II第一行第二列），3块。然后在B地转I号线从B地回到A地（矩阵II第二行　
第一列），3块。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。　
　
嗯，奇怪，没错啊。那么难道前面算错了？我们再算一遍，好像也没错，前面a＝1＋8＝9　
。那么，那么……谁错了？哈哈，海森堡错了，他这次可丢脸了，他发明了一种什么样的　
表格乘法啊，居然导致如此荒唐的结果：I×II　≠　II×I。　
　
我们不妨把结果整个算出来：　
　
　
　　　　　　　　┏　　　　　┓　
　　　　　　　　┃　9　5　┃　
I×II＝　　┃　7　10┃　
　　　　　　　　┗　　　　　┛　
　　　　　　　　┏　　　　　┓　
　　　　　　　　┃　10　5┃　
II×I＝　　┃　7　9　┃　
　　　　　　　　┗　　　　　┛　
　
的确，I×II　≠　II×I。这可真让人惋惜，原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创　
意的，现在看来浪费了大家不少时间，只好说声抱歉。但是，慢着，海森堡还有话要说，　
先别为我们死去的脑细胞默哀，它们的死也许不是完全没有意义的。　
　
大家冷静点，大家冷静点，海森堡摇晃着他那漂亮的头发说，我们必须学会面对现实。我　
们已经说过了，物理学，必须从唯一可以被实践的数据出发，而不是靠想象和常识习惯。　
我们要学会依赖于数学，而不是日常语言，因为只有数学才具有唯一的意义，才能告诉我　
们唯一的真实。我们必须认识到这一点：数学怎么说，我们就得接受什么。如果数学说I　
×II　≠　II×I，那么我们就得这么认为，哪怕世人用再嘲讽的口气来讥笑我们，我们也　
不能改变这一立场。何况，如果仔细审查这里面的意义，也并没有太大的荒谬：先搭乘I　
号线，再转II号线，这和先搭乘II号线，再转I号线，导致的结果可能是不同的，有什么　
问题吗？　
　
好吧，有人讽刺地说，那么牛顿第二定律究竟是F＝ma，还是F＝am呢？　
　
海森堡冷冷地说，牛顿力学是经典体系，我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的　
任何奇特性质过分大惊小怪，那会让你发疯的。量子的规则，并不一定要受到乘法交换率　
的束缚。　
　
他无法做更多的口舌之争了，1925年夏天，他被一场热病所感染，不得不离开哥廷根，到　
北海的一个小岛赫尔格兰（Helgoland）去休养。但是他的大脑没有停滞，在远离喧嚣的　
小岛上，海森堡坚定地沿着这条奇特的表格式道路去探索物理学的未来。而且，他很快就　
获得了成功：事实上，只要把矩阵的规则运用到经典的动力学公式里去，把玻尔和索末菲　
旧的量子条件改造成新的由坚实的矩阵砖块构造起来的方程，海森堡可以自然而然地推导　
出量子化的原子能级和辐射频率。而且这一切都可以顺理成章从方程本身解出，不再需要　
像玻尔的旧模型那样，强行附加一个不自然的量子条件。海森堡的表格的确管用！数学解　
释一切，我们的想象是靠不住的。　
　
虽然，这种古怪的不遵守交换率的矩阵乘法到底意味着什么，无论对于海森堡，还是当时　
的所有人来说，都还仍然是一个谜题，但量子力学的基本形式却已经得到了突破进展。从　
这时候起，量子论将以一种气势磅礴的姿态向前迈进，每一步都那样雄伟壮丽，激起滔天　
的巨浪和美丽的浪花。接下来的3年是梦幻般的3年，是物理史上难以想象的3年，理论物　
理的黄金年代，终于要放射出它最耀眼的光辉，把整个20世纪都装点得神圣起来。　
　
海森堡后来在写给好友范德沃登的信中回忆道，当他在那个石头小岛上的时候，有一晚忽　
然想到体系的总能量应该是一个常数。于是他试着用他那规则来解这个方程以求得振子能　
量。求解并不容易，他做了一个通宵，但求出来的结果和实验符合得非常好。于是他爬上　
一个山崖去看日出，同时感到自己非常幸运。　
　
是的，曙光已经出现，太阳正从海平线上冉冉升起，万道霞光染红了海面和空中的云彩，　
在天地间流动着奇幻的辉光。在高高的石崖顶上，海森堡面对着壮观的日出景象，他脚下　
碧海潮生，一直延伸到无穷无尽的远方。是的，他知道，this　is　the　moment，他已经作　
出生命中最重要的突破，而物理学的黎明也终于到来。　
　
　
*********　
饭后闲话：矩阵　
　
我们已经看到，海森堡发明了这种奇特的表格，I×II　≠　II×I，连他自己都没把握确定　
这是个什么怪物。当他结束养病，回到哥廷根后，就把论文草稿送给老师波恩，让他评论　
评论。波恩看到这种表格运算大吃一惊，原来这不是什么新鲜东西，正是线性代数里学到　
的“矩阵”！回溯历史，这种工具早在1858年就已经由一位剑桥的数学家Arthur　Cayley　
所发明，不过当时不叫“矩阵”而叫做“行列式”（determinant，这个字后来变成了另　
外一个意思，虽然还是和矩阵关系很紧密）。发明矩阵最初的目的，是简洁地来求解某些　
微分方程组（事实上直到今天，大学线性代数课还是主要解决这个问题）。但海森堡对此　
毫不知情，他实际上不知不觉地“重新发明”了矩阵的概念。波恩和他那精通矩阵运算的　
助教约尔当随即在严格的数学基础上发展了海森堡的理论，进一步完善了量子力学，我们　
很快就要谈到。　
　
数学在某种意义上来说总是领先的。Cayley创立矩阵的时候，自然想不到它后来会在量子　
论的发展中起到关键作用。同样，黎曼创立黎曼几何的时候，又怎会料到他已经给爱因斯　
坦和他伟大的相对论提供了最好的工具。　
　
乔治•；盖莫夫在那本受欢迎的老科普书《从一到无穷大》（One；　Two；　
Three…Infinity）里说，目前数学还有一个大分支没有派上用场（除了智力体操的用处　
之外），那就是数论。古老的数论领域里已经有许多难题被解开，比如四色问题，费马大　
定理。也有比如著名的哥德巴赫猜想，至今悬而未决。天知道，这些理论和思路是不是在　
将来会给某个物理或者化学理论开道，打造出一片全新的天地来。

四　
　
从赫尔格兰回来后，海森堡找到波恩，请求允许他离开哥廷根一阵，去剑桥讲课。同时，　
他也把自己的论文给了波恩过目，问他有没有发表的价值。波恩显然被海森堡的想法给迷　
住了，正如他后来回忆的那样：“我对此着了迷……海森堡的思想给我留下了深刻的印象　
，对于我们一直追求的那个体系来说，这是一次伟大的突破。”　于是当海森堡去到英国　
讲学的时候，波恩就把他的这篇论文寄给了《物理学杂志》（Zeitschrift　fur　Physik）　
；并于7月29日发表。这无疑标志着新生的量子力学在公众面前的首次亮相。　
　
但海森堡古怪的表格乘法无疑也让波恩困扰，他在7月15日写给爱因斯坦的信中说：“海　
森堡新的工作看起来有点神秘莫测，不过无疑是很深刻的，而且是正确的。”但是，有一　
天，波恩突然灵光一闪：他终于想起来这是什么了。海森堡的表格，正是他从前所听说过　
的那个“矩阵”！　　
　
但是对于当时的欧洲物理学家来说，矩阵几乎是一个完全陌生的名字。甚至连海森堡自己　
，也不见得对它的性质有着完全的了解。波恩决定为海森堡的理论打一个坚实的数学基础　
，他找到泡利，希望与之合作，可是泡利对此持有强烈的怀疑态度，他以他标志性的尖刻　
语气对波恩说：“是的，我就知道你喜欢那种冗长和复杂的形式主义，但你那无用的数学　
只会损害海森堡的物理思想。”波恩在泡利那里碰了一鼻子灰，不得不转向他那熟悉矩阵　
运算的年轻助教约尔当（Pascual　Jordan；再过一个礼拜，就是他101年诞辰），两人于是　
欣然合作，很快写出了著名的论文《论量子力学》（Zur　Quantenmechanik），发表在《　
物理学杂志》上。在这篇论文中，两人用了很大的篇幅来阐明矩阵运算的基本规则，并把　
经典力学的哈密顿变换统统改造成为矩阵的形式。传统的动量p和位置q这两个物理变量，　
现在成为了两个含有无限数据的庞大表格，而且，正如我们已经看到的那样，它们并不遵　
守传统的乘法交换率，p×q　≠　q×p。　
　
波恩和约尔当甚至把p×q和q×p之间的差值也算了出来，结果是这样的：　
　
pq　–　qp　=　（h/2πi）　I　
　
h是我们已经熟悉的普朗克常数，i是虚数的单位，代表…1的平方根，而I叫做单位矩阵，　
相当于矩阵运算中的1。波恩和约尔当奠定了一种新的力学——矩阵力学的基础。在这种　
新力学体系的魔法下，普朗克常数和量子化从我们的基本力学方程中自然而然地跳了出来　
，成为自然界的内在禀性。如果认真地对这种力学形式做一下探讨，人们会惊奇地发现，　
牛顿体系里的种种结论，比如能量守恒，从新理论中也可以得到。这就是说，新力学其实　
是牛顿理论的一个扩展，老的经典力学其实被“包含”在我们的新力学中，成为一种特殊　
情况下的表现形式。　
　
这种新的力学很快就得到进一步完善。从剑桥返回哥廷根后，海森堡本人也加入了这个伟　
大的开创性工作中。11月26日，《论量子力学II》在《物理学杂志》上发表，作者是波恩　
，海森堡和约尔当。这篇论文把原来只讨论一个自由度的体系扩展到任意个自由度，从而　
彻底建立了新力学的主体。现在，他们可以自豪地宣称，长期以来人们所苦苦追寻的那个　
目标终于达到了，多年以来如此困扰着物理学家的原子光谱问题，现在终于可以在新力学　
内部完美地解决。《论量子力学II》这篇文章，被海森堡本人亲切地称呼为“三人论文”　
（Dreimannerarbeit）的，也终于注定要在物理史上流芳百世。　
　
新体系显然在理论上获得了巨大的成功。泡利很快就改变了他的态度，在写给克罗尼格（　
Ralph　Laer　Kronig）的信里，他说：“海森堡的力学让我有了新的热情和希望。”随后　
他很快就给出了极其有说服力的证明，展示新理论的结果和氢分子的光谱符合得非常完美　
，从量子规则中，巴尔末公式可以被自然而然地推导出来。非常好笑的是，虽然他不久前　
还对波恩咆哮说“冗长和复杂的形式主义”，但他自己的证明无疑动用了最最复杂的数学　
。　
　
不过，对于当时其他的物理学家来说，海森堡的新体系无疑是一个怪物。矩阵这种冷冰冰　
的东西实在太不讲情面，不给人以任何想象的空间。人们一再追问，这里面的物理意义是　
什么？矩阵究竟是个什么东西？海森堡却始终护定他那让人沮丧的立场：所谓“意义”是　
不存在的，如果有的话，那数学就是一切“意义”所在。物理学是什么？就是从实验观测　
量出发，并以庞大复杂的数学关系将它们联系起来的一门科学，如果说有什么图像能够让　
人们容易理解和记忆的话，那也是靠不住的。但是，不管怎么样，毕竟矩阵力学对于大部　
分人来说都太陌生太遥远了，而隐藏在它背后的深刻含义，当时还远远没有被发掘出来。　
特别是，p×q　≠　q×p，这究竟代表了什么，令人头痛不已。　
　
一年后，当薛定谔以人们所喜闻乐见的传统方式发布他的波动方程后，几乎全世界的物理　
学家都松了一口气：他们终于解脱了，不必再费劲地学习海森堡那异常复杂和繁难的矩阵　
力学。当然，人人都必须承认，矩阵力学本身的伟大含义是不容怀疑的。　
　
但是，如果说在1925年，欧洲大部分物理学家都还对海森堡，波恩和约尔当的力学一知半　
解的话，那我们也不得不说，其中有一个非常显著的例外，他就是保罗•；狄拉克。　
在量子力学大发展的年代，哥本哈根，哥廷根以及慕尼黑三地抢尽了风头，狄拉克的崛起　
总算也为老牌的剑桥挽回了一点颜面。　
　
保罗•；埃德里安•；莫里斯•；狄拉克（Paul　Adrien　Maurice　
Dirac）于1902年8月8日出生于英国布里斯托尔港。他的父亲是瑞士人，当时是一位法语　
教师，狄拉克是家里的第二个孩子。许多大物理学家的童年教育都是多姿多彩的，比如玻　
尔，海森堡，还有薛定谔。但狄拉克的童年显然要悲惨许多，他父亲是一位非常严肃而刻　
板的人，给保罗制定了众多的严格规矩。比如他规定保罗只能和他讲法语（他认为这样才　
能学好这种语言），于是当保罗无法表达自己的时候，只好选择沉默。在小狄拉克的童年　
里，音乐、文学、艺术显然都和他无缘，社交活动也几乎没有。这一切把狄拉克塑造成了　
一个沉默寡言，喜好孤独，淡泊名利，在许多人眼里显得geeky的人。有一个流传很广的　
关于狄拉克的笑话是这样说的：有一次狄拉克在某大学演讲，讲完后一个观众起来说：“　
狄拉克教授，我不明白你那个公式是如何推导出来的。”狄拉克看着他久久地不说话，主　
持人不得不提醒他，他还没有回答问题。　
　
“回答什么问题？”狄拉克奇怪地说，“他刚刚说的是一个陈述句，不是一个疑问句。”　
　
1921年，狄拉克从布里斯托尔大学电机工程系毕业，恰逢经济大萧条，结果没法找到工作　
。事实上，很难说他是否会成为一个出色的工程师，狄拉克显然长于理论而拙于实验。不　
过幸运的是，布里斯托尔大学数学系又给了他一个免费进修数学的机会，2年后，狄拉克　
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