科普-中华学生百科全书-第427部分
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1 元 8 角一打，鹅蛋 2 元 6 角一打（注：一打蛋是 12 个）。有一位顾客，身
边只带了 1 元 1 角，他能买几种蛋、几个蛋？
解答：假设可买鸡蛋 x 个，鸭蛋 y 个，鹅蛋 z 个。
有方程：1。50 x＋ 1。80y 2。60z
＋ = 1。10 ①
12 12 12
化简得：15x＋18y＋26z＝132 ②
∵132＝3×44＝4×33
∴②的解有两种形式：
（1）x＝0 y＝z＝3
（2）z＝0 x＝y＝4
由此，1 元 1 角可以买 3 个鸭蛋和 3 个鹅蛋，或者买 4 个鸡蛋和 4 个鸭
蛋。
四通八达
这里要传授给你一个秘决，只要你领会了，今后你遇到这一类问题，你
会感到四通八达、迎刃而解了。
假如你遇到这样一个问题：求 3 个整数 a、b、c，使其满足 a3＋b3＝c4，
这时，你该怎么办？
最好的办法是，等式两边同除以 c3，于是
c a 3 ＋ = c
b 3
c
a b
令A = ，B = ，则
c c
c＝A3＋B3
你可以任意设 A 和 B 两个整数，从而求得 c，进而知 a、b，问题解决了。
举例：设 A＝2，B＝3，得
c＝A3＋B3＝23＋33＝35
∵a＝cA＝70，b＝cB＝105
∴703＋1053＝354
这类问题可以推广到：
（1）a3＋b3＋c3＝R4
a3＋b3＋c3＋d3＝R4，等等。
（2）a2＋b2＝c3 a4＋b4＝c5 a5＋b5＝c6，等等
为了使你熟练这种办法，请你举一个例子能满足 a2＋b2＋c2＝d3。
解答：将等式变为d ＋ a ＋ d = d
a 2 b 2 c 2
a b c
令A = ，B = ，C =
d d d
且 A＝1，B＝2，C＝3
d＝A2＋B2＋C2＝12＋22＋32＝14
由此，a＝14，b＝28，c＝42，
∴142＋282＋422＝143
各自为政
在现代工业中要求产品标准化，因为过去各自为政的局面会带来许多麻
烦。可以举一个实例：有甲、乙、丙、丁、戊 5 个工厂生产的电线规格都不
一样，即每一盘电线的长度都不相／同。现在要从变电站 A 往居民小区 B 拉两
根供电干线。若用甲厂的产品 2 盘不够，还得搭上 1 盘乙厂的；若用乙厂的
3 盘也不够，还得搭上 1 盘丙厂的；若用丙厂的 4 盘也不够，还得搭上 1 盘
丁厂的；若用丁厂的 5 盘还不够，还得搭上 1 盘戊厂的；若用戊厂的 6 盘也
是不够，还得搭上 1 盘甲厂的。你看，不按统一的标准，有多噜嗦。请你只
好耐心一点计算一下各家工厂每盘电线的长度，以及 A、B 两地的距离是多
少？（已知每盘电线都是以整数来盘绕的，A、B 两地干线的总长度也正好是
个整数米，求最小的一组解。）
解答：设甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线每盘长 x、y、z、u、v 米，
A、B 两地所用干线的总长度为 w 米。
根据题意，列出方程组：
2x＋y＝w ①
3y＋z＝w ②
4z＋u＝w ③
5u＋v＝w ④
6v＋x＝w ⑤
这是一个不定方程组，即 5 个方程，要求 6 个未知数。
由 3×①…②，得：6x…z＝2w ⑥
由 4×⑥＋③，得：24x＋u＝9w ⑦
由 5×⑦…④，得：120x…v＝44w ⑧
由 6×⑧＋⑤，得：721x＝265w
w 可以有许多解，但最小的一组解为：x＝265，w＝721。代入①、②、③、
④，可求得：
y＝191，z＝148，u＝129，v＝76
因此，甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线规格，每盘电线分别是 265
米、191 米、148 米、129 米、76 米，A、B 两地所用的干线总长度为 721 米，
A、B 两地距离为 360．5 米。
马克思与数学
马克思是精通数学的，他在《数学手稿》中，曾提出解不定方程的例子：
有 30 个人，其中有男人、女人和小孩。他们在一家小饭馆里就餐共花费
了 50 先令；知道每个男人花 3 先令，每个女人花 2 先令，每个小孩只花 1
先令。问男人、女人和小孩各有多少？
你知道马克思是怎么算的吗？
解答：
设男人、女人、孩子分别有 x、y、z 人，列出方程：
x＋y＋z＝30 ①
3x＋2y＋z＝50 ②
由②式减①式，得
2x＋y＝20 ③
③式代入②，得
z…x＝10 ④
∵x≥0，由④式知：
z≥10 ⑤
由③式
y＝20…2x
x≤10
列表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
z 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
因此这 10 组解都满足本题的要求。显然是一个典型的不定方程。
趣味几何
意大利著名科学家伽利略曾经说过：“大自然用数学语言讲话，这个语
言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体。”几何学研究的对象正是
圆、三角形及其他各种数学形体。
一个由 36 个小方格组成的正方形，如图所示，放着 4 个黑子和 4 个白子。
现在要把它分割成形状大小都相同的 4 块，并使每一块里都有一个黑子和一
个白子，应怎样分割？
分析：要将图形分成大小相同的四块，可先将图形一分为四，如图（A）
但这样左上角一块中就出现了两个白子，为此必须将它们割开。但问题
要求 4 块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他 3 块都要做同样的割
开，如图（B）。然后再将原来的分割线去掉一部分。如果去掉近中心的 1／3，
则黑子就会连成一片；如果去掉中间的 1／3，又会有两个白子连在一起。
因此只可去掉靠边上的 1／3，如图（C）。
现在只需要把左边两个白子分开。显然，只要将 4 条短的分割线延长到
边，就能达到目的，如图（D）。到此，图中的 6 条分割线都不能再延长，只
能沿折线分割，成为符合要求的图（E）。
节能灶
便民小吃店准备改进炉灶，知道煤厂生产有两种蜂窝煤。大蜂窝煤的直
径是小蜂窝煤直径的 2 倍，3 个大蜂窝煤垒起的高度与 4 个小蜂窝煤垒起的
高度相等。
假如砌的炉灶采用 3 块大蜂窝煤，那么相当于多少块小蜂窝煤的热值？
如果按同样热值的那么多小蜂窝煤砌成炉灶，哪个灶更节省？
解答：假设大蜂窝煤半径为 R，高度为 b，小蜂窝煤半径为 r，高度为 a，
则：
R＝2r，3b＝4a
大蜂窝煤的体积为πR2·b，小蜂窝煤的体积为πr2·a
∴πR2 b = π（2r）2 a 3
4
= 16 πr2 a
3
即 3πR2·b＝16πr2·a
由此可知，3 个大蜂窝煤的体积等于 16 个小蜂窝煤的体积，3∶16 也是
它们重量的关系。
由于热值与其质量成正比，相同质量的蜂窝煤应该产生相同的热值，所
以要砌放 3 块大蜂窝煤的炉灶，也可以砌成能放 16 块小蜂窝煤的炉灶，如同
图上所示的两种炉膛内的蜂窝煤全部燃烧（令中间小孔不计），其燃烧面积
应该是上端面的面积加上侧面的面积之和，于是，对于 16 块小蜂窝煤，燃烧
表面积之和为：
SA＝4×4×（πr2＋2πra）
＝16πr2＋32πra
3 块大蜂窝煤，其燃烧表面积为：
SB＝3×（πR2＋2πR·b）
＝3πR2＋6πRb
3
∵R = 2r；b = a
4
∴SB = 3π（2r）2 ＋ 6π（2r）43a
= 12πr2 ＋16πra
∴SA＞SB
由此，小蜂窝煤燃烧面积大，烧得快，不节省煤，而大蜂窝煤燃烧面积
适中，烧得慢，省煤。
影子部队
数学大军中有一支劲旅，称做“影子部队”。它就是“三角函数”，因
为它离不开角度，它总是跟随着角度，像它的影子一样。
这天，影子部队随着角度观光了三角形博览会。角度是这里的常客，它
也很自负，它说：“任何△ABC，三个内角和为 180°。”说完没有人理它，
它又说：“△ABC 若是直角三角形，那么 Rt∠C＝∠A＋∠B。”这时影子部队答
了话：“凡是有你的地方，就有我存在。至于△ABC 若满足下列条件：
sinC = sinA ＋ sinB
cosA ＋ cosB
则△ABC 一定是直角三角形。不信，你可以试试。”
证明：先设△ABC 为任意三角形，有 A＋B＋C＝180°
A ＋ B B
2sin cos A
∴右式 = 2 2
2cosA ＋ B cos A B
2 2
sin180° C cosC
= 2 = 2
cos180° C C
sin
2 2
左式 = 2sinC cosC
2 2
∴2sinC cosC = cosC
2
2 2 C
sin
2
∵cosC ≠0
2
C
∴2sin2 = 1
2
C 2
sin =
2 2
∵ = 45°
C 即 C = 90°
2
所以△ABC 为直角三角形。
巷中行
有一个小巷，本来就不宽，充其量只有 5 米，却遇上修理房屋。巷内架
起了两个梯子，一个梯子长 8 米，另一个梯子长 7 米。架起来后，行人走到
那里就皱起了眉头。请你计算一下，这样架着梯子，人在巷中行走，有妨碍
没有？
解答：设巷宽 DB＝5 米，两个梯子 AB＝8 米，CD＝7 米
令 EF＝x，FB＝x
EF DF
∵ BC DB；
=
BC = CD2 DB2 ；
DF = DB y
x 5 y
∵ = ∴
72 52 5
同理：
EF FB
=
AD DB
AD = AB2 DB2
x y
∴ =
82 52 5
由①、②式，求得：
5 y y
72 52 = 82 52
5 5
10 6 2 6y = 39y
10 6
y = = 24。5=2（米 ）
2 6 ＋ 39 12。2
又
x y
=
82 52 5
39
x = y
5
x= 6。25× 2=2。5（米）
5
由此可见，两梯子交叉点离地面约有 2．5 米高，因此并不影响行人通过。
截去多少
有三角形、平行四边形和 1／4 的圆形（或称 90°的扇形），它们高度相
等。现在在高度一半处，与底边平行地截过去，截下一个小的三角形、平行
四边形和半个弓形，问截下部分是整体面积的几分之一？
解答：三角形截下部分是整体的 1／4，因为小三角形的边和高都是原来
的 1／2，其面积是原来的（1／2）2。
平行四边形截下的部分为整体的一半，即 1／2。
半弓形的面计算如下：
扇形ABC的面积 = πR2
1
6
1 R 3 3
三角形DBC的面积 = × × R = R2
2 2 2 8
半弓形 ADC 的面积＝扇形 ABC 的面积…三角形 BDC 的面积：
πR2 3 R2
6 8
扇形ABE的面积 = πR2
1
4
πR2 3
半弓形的面积 R2
= 6 8 2 3
3 2π =0。382
90°扇形的面积 πR2
4
园丁的难题
公园里有一个圆形的花圃，在它外面有一个水泵。为了浇花的需要，又
兼顾花圃外用水的方便，园丁想拉一条直的水管，使它在圆内部分的长度等
于圆外部分的长度。可是，这根水管应该怎样拉呢？
假设 AC 是符合愿望的水管，那么
CB＝BA
连接 OB、OC，并将 CO 延长与圆周交 D，连接 AD。
∵CB＝BA，OC＝OD＝r
∴OB∥DA
△COB∽△CDA
OB = CO = r
DA CD 2r
DA＝2OB＝2r
因此，只需以 A 点为圆心，2r 为半径画弧交花圃圆周于 D。连接DO 并交
圆周于 C，连接 AC 即为设水管的位置。
值得注意的是：一般情况可以有两个解，分设在左右两侧。但也有唯一
解的情况，那是 A 点与圆心连线以后，该连线的长度正好等于 3r。当 A 点与
圆心连线大于 3r 时，本题无解。
正方形的维纳斯
据说，著名的维纳斯雕像之所以美，是因为她的上半身和下半身的长度
是按黄金比分配的。为此，我们取一个正方形 ABCD，现在作一个半圆，使它
的直径正好在正方形一边 CD 的延长线上，圆周正好通过正方形另两个顶点 A
和 B，此时直径为 MN。那么 C 点把 DN 黄金分割，D 点把 MC 黄金分割。
因为 MN 为半圆的直径，所以
BC2＝MC·CN ①
∵ABCD 为正方形
∴BC＝DC
DC2＝MC·CN ②
由于图形的对称性，所以
MD＝CN
MC＝DC＋MD＝DC＋CN ③
由②式和③式，得
DC2＝（DC＋CN）·CN
∴CN = DC
DC DN
因此 C 为 DN 的黄金分割点，同样可以证明 D 为 MC 的黄金分割点。
丰收时节
在喜庆丰收的时候，用编好的苇席围起来做成粮囤。甲、乙、丙三人用
同样长的苇席，甲围成一个正三角形，乙围成一个等腰直角三角形，丙围成
一个圆形。那么，他们谁围的面积大？如果苇席同样高的话，谁围的粮囤存
放的粮食多？
假设苇席的长度为 1 米，正三角形边长为 a，等腰直角三边为 b，圆半径
为 r。
（1）正三角形中：
3a＝1
∴a = 1
3
a 3
S = a = 3a2
2 2 4
4 3
31 2
= = 3 =0。0481
36
（2）等腰直角三角形中：
2b＋ 2b = 1
∴b = 1
2 ＋ 2
S = b2 = 12 = 3 2 2 =0。0421
b 2（2 ＋ 2）2 4
（3）在圆中：
2πr＝1
1
∴r = 2π
S = πr2 = πr2 = π2 =
1 2 1
π 4π =0。07912
所以，在周长相等的情况下，圆的面积最大，正三角形 其次，等腰直角
三角形最小。自然，搭起的粮囤大小也是这样的次序了。
折纸的面积
一张等腰直角三角形的白纸，用 3 种折法：（1）A 点折到 B 点处，形成
一个三角形 DCB；（2）A 点折到 C 点处，形成一个梯形 EDBC�
